Aayat ka Kshetrafal | आयत का क्षेत्रफल, परिभाषा और फार्मूला

Aayat ka Kshetrafal – वैसा चतुर्भुज जिसका चारों कोण समकोण हो, उसे आयत या रेक्टैंगल कहते है। यहाँ समकोण का अर्थ जिसका चारों बाहरी कोण 90 डिग्री का हो। इसे आप दूसरी उदाहरण के रूप में कह सकते है कि,

चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी आमने-सामने की भुजाएँ आपस में बराबर तथा समान्तर हों, तो ऐसी आकृति ‘आयत’ (Rectangle) कहलाती है।

इसमें आयत का दोनों लम्बाई वाली भुजाओं और चौड़ाई वाली भुजाओं आपस में समान होती है। अर्थात अगर किसी वस्तु की ऊपरी और निचली लम्बाई और चौड़ाई आपस में समान हो वह आयत के नाम से जानी जायेगी।

आयत को क्षेत्रमिति (Mensuration) नाम के अध्याय में 10^th, 11^th और 12^th के स्टूडेंट्स को पढ़नी होती है साथ ही इससे संबन्धित प्रश्न हर तरह के प्रतियोगी परीक्षाओं में भी पुछी जाती है।

स्टूडेंट्स को इसका बेसिक जानकारी 5^th क्लास से ही मिलना शुरू हो जाती है और यह गणित का सबसे प्रमुख पाठ में से एक है।

आप भी अगर इंटरनेट पर आयत का क्षेत्रफल क्या है | Aayat ka Kshetrafal की परिभाषा के बारे में सर्च कर रहें है और आयत का क्षेत्रफल फार्मूला | Area of Rectangle in Hindi को जानना चाहते है

तब आपको यह आर्टिकल अवश्य पढ़ना चाहिए, जिसमें आपको आयत से संबन्धित सम्पूर्ण सवाल का जवाब विस्तार में प्राप्त होने वाली है जिसका आप को वर्तमान तथा भविष्य में जरूर फायदा होगा

 

 

आयत (Rectangle) की परिभाषा क्या है – Aayat ka Kshetrafal Paribhasha

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमे की आमने सामने की भुजाये बराबर (समांतर) होती है साथ ही आयत की प्रत्येक शीर्ष कोण 90° का होता है।

इस तरह आप कह सकते है कि वैसा चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समान लम्बाई एवं अन्य दो भुजाएँ समान चौड़ाई की होती है तथा इसमें चारों कोण समकोण अर्थात बराबर होती है उसे हम आयत कहते है।

इसको समझने से पहले आपको आयत का चित्रसहित विवरण भी देखना चाहिए, जिससे आप इसके बारें में समझ सकते है कि आखिर यह दिखती कैसे है और इसकी चारों कोना बराबर एक दूसरे से समकोण किस तरह रहती है। इसका चित्र उदाहरण नीचे देख सकते है।

 

 

यहाँ आप देख सकते है कि इस आयत का दोनों कोनों की लंबाई और फिर दोनों कोनो की चौड़ाई आपस में समान है। इस तरह जब भी किसी वस्तु का दोनों कोण का लंबाई और फिर दोनों कोनों का चौड़ाई समान हो और वह 90 डिग्री का कोण बनाता हो उसे हम आयत के नाम से जानते है।

 

आयत की विशेषताएँ | Properties of Rectangle in Hindi

वैसे तो रेक्टैंगल की कई सारी विशेषताएँ और उसके गुणों के बारें में है, जिसे इसके बारें में नीचे प्रमुख से बताई गई है: –

• आयत के दोनों विकर्ण समान होते है।
• आयत की आमने सामने की भुजाएं समान और समांतर होती हैं।
• आयत के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
• आयत के अंतः कोण समकोण होते हैं।
• आयत के सभी कोणों का योगफल 360॰ होता है।
• आयत के दो बराबर विकर्ण होते हैं।
• सभी वर्ग आयत होते हैं, परंतु सभी आयत वर्ग नहीं होते हैं।
• आयत की प्रत्येक आंतरिक और बाह्य कोण की माप 90 डिग्री अंश की होती है।
• अगर एक आयत के भुजावों के के मध्य बिंदु को सरल रेखावों से मिला दे तो एक समचतुर्भुज बनता है।
• यदि किसी आयत के लम्बाई में X % की वृद्धि तथा चौड़ाई में Y % की वृद्धि कर दी जाये तो आयत के क्षेत्रफल में होने वाला वृद्धि = ( X + Y + XY/100) होगी।
• यदि किसी आयत के लम्बाई में X % की वृद्धि तथा चौड़ाई में Y % की कमी कर दी जाये तो आयत के क्षेत्रफल में होने वाला कमी = ( X – Y – XY/100) होगी।
• क्षेत्रफल निकालते समय आपका उत्तर हमेशा वर्ग इकाई में ही आएगा।

 

आयत का क्षेत्रफल फार्मूला | Area of Rectangle formula in Hindi

गणितीय प्रणाली के जरिये हम किसी भी तरह के प्रश्न का हल कर सकते है और उसका जवाब का पता भी लगा सकते है,

लेकिन यह तब ही संभव है, जब हमें उसका फ़ार्मूला पता होगी।

इसी तरह हमें आयत से संबन्धित प्रश्नो का हल करने के लिए हमें Area of rectangle formula के बारें में पता पहले से होनी चाहिए: –

• आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
• आयत का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)
• एक आयत की लम्बाई = क्षेत्रफल / चौड़ाई
• किसी आयत की चौड़ाई = क्षेत्रफल / लम्बाई
• एक आयत के विकर्ण की लम्बाई = √(लम्बाई2 + चौड़ाई2)

 

आप आयत का क्षेत्रफल  A = लम्बाई X चौड़ाई के साथ A = (I X W)   भी लिख सकते है साथ ही आप आयत का परिमाप को 2 (a+b) लिख सकते है, जहाँ a आयत की लम्बाई यानि विपरीत भुजा तथा b आयत की चौड़ाई को दर्शाती है। इस तरह किसी आयत की दोनों भुजाओं का मान लंबाई (L) और चौड़ाई (B) है,

तब आप इसे आयत का परिमाप = L + B + L + B = 2 (L + B) फॉर्मूला का इस्तेमाल करके सवालों को हल कर सकते है। इसके अलावा इसके सभी सूत्र को संछिप्त में लिखने का तरीका नीचे वाली सारणी में देख सकते है: –

भुजाएँ	a, b
क्षेत्रफल	a x b
परिमाप	U =2.a+2.b = 2.(a+b)
विकर्ण की लम्बाई	√a2 + b2
परिवृत्त की त्रिज्या	r = 1/2 . √a2 + b2

 

आयत का क्षेत्रफल क्या है ? What is the area of the rectangle ?

आयत का क्षेत्रफल आयत की लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है। आयत का क्षेत्र उस आयत की लम्बाई और चौड़ाई पर निर्भर करता है। जितनी अधिक या कम आयत की लम्बाई और चौड़ाई होगी उतना ही अधिक या कम आयत का क्षेत्रफल होगा।

अगर हमें इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए लम्बाई और चौड़ाई का गुणा करके प्राप्त करते है फल – a x b हम जानते है कि आयत की चार भुजाये होती है

जिनमे दो भुजाये आपस में बराबर और समान्तर होती है इस सूत्र को हमेशा याद रखने का यही एक तरीका है चार भुजाओ में से किन्ही दो असमान भुजाओ का गुणनफल ही क्षेत्रफल के बराबर होता है।

 

 

हमें अगर किसी आयत की लंबाई और उसकी चौड़ाई पता हो तब हम इसका क्षेत्रफल इन दोनों को आपस में गुणा करके प्राप्त कर सकते है।

जैसा की उपरोक्त चित्र में दिखाये गए आयत की लम्बाई = 10 cm और चौड़ाई  = 15 cm है इस प्रकार इसका क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई  = 10 x 15 =  150 cm होगी।

 

आयत का परिमाप क्या है ? What is the perimeter of the rectangle?

जैसा कि हमने आपको पहले भी बताया था कि आयत का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई) होती है

जिसे हम 2(a + b) भी लिख सकते है। आयत का परिमाप मूल रूप से एक आकृति की पूरी लंबाई है अर्थात आयत के चारों भुजाओं के योग से प्राप्त किया जाता है। इसके आमने-सामने की दोनों भुजाएँ एक दुसरें से बराबर होती है,

• AB = DC
• एवं BC = AD
• P = a + b + a + b
• P = 2 x m x n
• P = चारों भुजाओं का योग या औसत
• इसलिए, P = 2 ( आधार + ऊँचाई)
• तथा ∠A = ∠B = ∠C , और ∠D = 90

 

 

सामान्यतः किसी भी बहुभुज के लिए, परिमाप का फार्मूला चारों भुजाओं की कुल दुरी या औसत होती है।

आयत के विपरीत भुजाएँ या भाग एक दुसरें के बराबर होते हैं। इसलिए परिमाप आयत की चौड़ाई एवं लंबाई की दोगुनी होती है। सामान्यतः आयत के परिमाप को P यानि Perimeter द्वारा सूचित किया जाता है।

 

आयत का विकर्ण क्या है ? What is the diagonal of the rectangle?

विकर्ण (Diagonal) एक सीधी रेखा है जो आयत के एक कोण को उसके विपरीत कोण से जोड़ती है। एक आयत में दो विकर्ण होते हैं और दोनों की लंबाई एक समान होती है।

यदि आपको आयत की लंबाई और चौड़ाई पता है, तो आप आसानी से पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) का इस्तेमाल करके आयत के विकर्ण का माप ज्ञात कर सकते हैं,

क्योंकि विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुज (right triangles) में विभाजित करता है।

इसमें दोनों विकर्ण एक दूसरे को बराबर भागों में बांटते है और विकर्ण के कटान बिंदु पर बनने वाले शीर्षाभिमुख कोण आपस में बराबर होते हैं इसका चित्रस्वरूप उदाहरण नीचे देख सकते है।

अगर आपको Aayat ka vikarn नही पता है तब आपके जानकारी लिए हम बता दे, कर्ण 2 = आधार 2 + लम्ब 2 होती है।

जहाँ – b = BC = लम्ब DB = विकर्ण DC = आधार अतः इनका मान समीकरण में रखने पर विकर्ण 2 = आधार 2 + कर्ण 2 विकर्ण 2 = a 2 + b 2 होगी।

 

कैसे आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें

हम लोग अब टीके Aayat ka kshetrafal के बारें में बहुत कुछ जान चुके है, जिसका प्रयोग करके अब इसका समीकरण के जरिये एक सवाल को हल करने का प्रयास करते है, जिससे आप इसे बढ़िया तरीके से समझ सकते है जिसमे हमारा सवाल कुछ इस तरह है: –

सवाल : एक आयताकार मैदान की लम्बाई उसकी चौड़ाई की तीन गुणा है यदि इस मैदान का परिमाप 800m है तो मैदान की लम्बाई क्या होगी ?

जवाब : 

• आयत का परिमाप = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)
• आयताकार मैदान की लम्बाई = 3 x चौड़ाई
• अतः मैदान की परिमाप= 2 (3 x चौड़ाई + चौड़ाई)
• = 2 (4 x चौड़ाई) = 8 x चौड़ाई

⇒ इस तरह ,8 x चौड़ाई= 800,= चौड़ाई = 800/100

⇒ लम्बाई  = 3 x 100m = 300m

 

सवाल : 30m लम्बाई और 24m चौड़ाई वालें एक पार्क के चारों ओर 4m चौड़ा एक पथ बना हुआ है तब आप इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

जवाब : 

मान लीजिये कि ABCD एक पार्क है और उसके चारों ओर EFGH नाम की पथ बनी हुई है तब,

• आयत EFGH की लंबाई = (30+4+4)m = 38m
• आयत EFGH की चौड़ाई = (24+4+4)m= 32m

अतः पथ का क्षेत्रफल = आयत EFGH का क्षेत्रफल – आयत ABCD का क्षेत्रफल

• = (38 x 32 – 30 x 24)m²
• = (1216 – 720)m²

इस तरह पथ का क्षेत्रफल ⁼ 469m²  

 

FAQ : 

सवाल : आयत का सूत्र क्या है ?

आयत का सूत्र लंबाई x चौड़ाई होती है। एक आयत एक चार-पक्षीय बहुभुज है जिसमें विपरीत पक्षों की लंबाई बराबर होती है। 90 डिग्री के प्रत्येक कोण के बाद से, इसे एक समभुज चतुर्भुज के रूप में भी कहा जा सकता है।

सवाल : आयत का क्षेत्रफल और परिमाप क्या होता है ?

आयात का क्षेत्रफल लंबाई x चौड़ाई होती है तो वही इसकी परिमाप 2 (लम्बाई + चौड़ाई) होती है। परिमाप का फार्मूला चारों भुजाओं की कुल दुरी या औसत होती है। आयत के विपरीत भुजाएँ या भाग एक दुसरें के बराबर होते हैं. इसलिए परिमाप आयत की चौड़ाई एवं लंबाई की दोगुनी होती है।

सवाल : वर्ग का क्षेत्रफल का सूत्र क्या है ?

यदि हमें किसी वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात हो तब हम वर्ग का क्षेत्रफल निकालने के लिए भुजा की लंबाई को दो बार गुना कर देते हैं अर्थात भुजा गुना भुजा। इस तरह वर्ग का क्षेत्रफल फ़ार्मूला = भुजा × भुजा होती है। यदि हमें किसी वर्ग की भुजा की लंबाई 5cm दी गई है तब उस वर्ग का क्षेत्रफल 5×5= 25 cm square होगा।

सवाल : वर्ग का विकर्ण बराबर क्या होता है ?

वर्ग के दोनों विकर्ण सामान होते हैं। दोनों विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। आमने सामने की भुजाएं बराबर और समांतर होती हैं। वर्ग एक चक्रीय चतुर्भुज होता हैं।

सवाल : क्या आयत, वर्ग हो सकता है ?

आयत को वर्ग बनाने के लिये आयत की छोटी भुजा के बराबर लम्बी भुजा के हिस्से करने पड़ेंगे, जैसे आयत की छोटी भुजा 2  सेंटीमीटर है और लम्बी भुजा 6 सेंटीमीटर, तो लम्बी भुजा के बीच में 2 सेंटीमीटर की दो लाइनें खींच देने पर 2 या 2 से तीन वर्ग बन जायेंगे।

सवाल : आयत और आयतन दोनों में क्या फर्क है ?

आयत वह आकृति है जिसमें दो विमाए (डायमेंशन) होती है। जिसमे मुख्यत लंबाई और चौड़ाई है। जबकि किसी वस्तु के आयतन के लिए उसकी तीन विमाये होनी चाहिए। आयतन किसी त्री विमीय आकृति का होता है। इस तरह आयत(Rectangle) एक आकार (Shape) है जबकि आयतन (Volume) एक परिमाण है।

 

Conclusion

आज के लेख में हम ने Aayat ka Kshetrafal क्या होता है ! यह जाना वही आयत का क्षेत्रफल, परिभाषा और फार्मूला के बारे में भी जाना जिसका आप को वर्तमान तथा भविष्य में जरूर फायदा होगा !

हम ने इस लेख में आयत का क्षेत्रफल का फार्मूला इस तरह से लिखा है जिसे देखते ही कोई भी आसानी से आयात का परिमाप निकाल सकता है !

मतलब हम ने आयत का क्षेत्रफल क्या होता है यहाँ बताने के अलावा कैसे निकाला जाता है और उसका फार्मूला भी बताने की कोशिश की ताकि आप को इस लेख में सभी जानकारी एकत्रित प्राप्त हो सके !

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इस लेख को शुरवात से अंत तक पढ़ने के लिए आप सभी का तहे दिल से धन्यवाद